平均数、中位数、众数的比较

新教材编排了三个统计量的教学，主要为了达成以下教学目标：初步了解统计数据的分布特征和规律；体验统计与生活的联系，感受统计在生活中的作用，培养学生用数据说话的习惯和实事求是的科学态度；发展学生的统计观念；逐步形成从数学的角度思考问题的思维习惯；渗透统计思想和增强统计意识；渗透用样本估计总体的思想。

但在实际教学中，由于不少教师对这三个统计量认识模糊，导致教学目标含糊不清，学生也因此学得模棱两可。为此，颇有必要对这三个统计量的异同作一番比较研究。

一、相同点

平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。

例如：公园里各有两组人在草地上做游戏，两组人的年龄如下：

甲组：14  10  10  10   6

乙组：50  40   5   5   10

分别算出两组年龄的平均数、中位数与众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好反映本组的年龄特征？

在这一现实情境中，可以用平均数、中位数和众数代表每组成员的年龄的集中趋势、一般水平和作为这组成员年龄的代表，只是要看选择哪个统计量更合适的问题。

二、不同点

它们之间的区别，主要表现在以下方面。

1、定义不同

平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。

中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。

众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。

2、求法不同

平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。

中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。

众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。

例如：求下列数据的平均数、中位数和众数

（1）54  57  58  66  69

     平均数：（54+47+58+66+69）÷5=60.8

     中位数：  58

     众  数： 因为各数据出现次数都一样，所以没有众数。

（2）4.8  5.0  5.1  4.8  4.9  4.8  5.1  4.9  4.7  4.7

    平均数：（4.8+5.0+5.1+4.8+4.9+4.8+5.1+4.9+4.7+4.7）÷10=4.88

    中位数：（4.8＋4.9）÷2＝4.85

    众  数：因为4.8出现的次数最多，所以众数为4.8

从上面的例子中可以看出，三者之间可以相等也可以不等，它们之间无固定的大小关系。

3、个数不同

在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。

4、呈现不同

平均数：是一个“虚拟”的数，是通过计算得到的，它不是数据中的原始数据。例如：5孩子的平均年龄是10岁，这个10岁就是一个虚拟的数，因为它并不是指每个人的年龄就是10岁。这5个孩子有可能是8、9、10、11、12岁，也可能是4个5岁的小孩和一个30岁的大人。

中位数：是一个不完全“虚拟”的数。当一组数据有奇数个时，它就是该组数据排序后最中间的那个数据，是这组数据中真实存在的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数据相等，此时的中位数就是一个虚拟的数。

众  数：是一组数据中的原数据 ，它是真实存在的。

5、代表不同

平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体 “平均水平”。

中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。

众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。

这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。

6、特点不同

平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平均数会降低。

中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。

众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有 。

7、作用不同

 平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此，它在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。

中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。

众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。

 例如：你认为哪个数据代表公司员工工资的一般水平比较合适？

甲公司：

乙公司：

丙公司：

三、教学注意点

在教学中，要注意以下问题。

1、适当把握平均数、中位数、众数的教学要求。如中位数、众数只是让学生初步了解和简单认识，并初步理解其统计意义即可。

2、关于选择平均数、中位数、众数中的哪一个量来作为一组数据的代表,要根据具体问题中数据的特点和所关心的问题来确定，有时没有唯一正确答案，只是看谁更合适，因此要灵活应对。

3、要淡化纯数值的计算，加强对平均数、中位数、众数在统计学上的意义的理解。如在教学“平均数、中位数、众数”的时，有的教师往往把教学重点放在它们的定义和求法上，而对其在统计学上的意义和作用很少提及。

4、对于这三个统计量的联系和区别，可让学生结合实际问题进行简单理解。